Senin, 04 Juli 2011

Polinomial lagrange dan polinomial newton

Oleh:
Siti Aisyah                               D04208046
Ulul Azmi                                D04208077
Yusuf Setiawan                                   D34208018
Feni Rohmatus Saidah             D34208027
Sri Suko Puji Lestari                D74208071

Dosen Pembimbing:
Sutini, M.Si

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SUNAN AMPEL  SURABAYA
2011

Oleh:
Siti Aisyah                               D04208046
Ulul Azmi                                D04208077
Yusuf Setiawan                                   D34208018
Feni Rohmatus Saidah             D34208027
Sri Suko Puji Lestari                D74208071

Dosen Pembimbing:
Sutini, M.Si

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SUNAN AMPEL  SURABAYA
2011

INTERPOLASI
Pengertian Interpolasi
Bila data diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva kecocokannya dibuat melalui setiap titik, persis sama kalau kurva fungsi yang sebenarnya dirajah (ditelusuri) melalui setiap titik itu. Disebutkan bahwa kita menginterpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi. Bila fungsi kecocokan yang digunakan berbentuk polinom, polinom tersebut dinamakan polinom interpolasi. Pekerjaan menginterpolasi titik data dengan sebuah polinom disebut interpolasi (dengan ) polinom. Contoh data yang mempunyai ketelitian tinggi adalah titik-titik yang dihitung dari fungsi yang telah diketahui atau data tabel yang terdapat pada acuan ilmiah (data percepatan gravitasi bumi). Selain dengan polinom, interpolasi titik-titik data dapat dilakukan dengan fungsi spline, fungsi rasional (pecahan) atau deret Fourier.
Jenis Interpolasi :
a.        Linier
b.      Lagrange dan Polinom Newton
a.      Interpolasi Linier
Interpolasi linier adalah interpolasi dua buah titik dengan  sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik (x0,y0) dan (x1,y1).Polinom yang menginterpolasi kedua titik tersebut adalah persamaan garis lurus yang berbentuk :
Dengan sedikit manipulasi aljabar (lih. Rinaldi Munir hal.194) diperoleh :
Dengan kurva polinom ini adalah berupa garis lurus.
Contoh :
Perkirakan jumlah telur yang dihasilkan seorang peternak ayam pada bulan ke-5 berdasarkan data tabulasi berikut :

Bulan
1
11
Jumlah Telur (Butir)
1525
1785

Penyelesaian :
Dengan menggunakan persamaan diatas, diperoleh :
Jadi, diperoleh jumlah telur yang dihasilkan oleh ternak-ternak tersebut pada bulan ke-5 adalah 1629 butir.
b.      Polinomial Lagrange
Tinjau kembali persamaan polinom linier pada a. :
Persamaan ini dapat diatur kembali sedemikian rupa sehingga menjadi
Atau dapat dinyatakan dalam bentuk :
Ket :

Persamaan diatas dinamakan polinom Lagrange berderajat 1.

Bentuk umum polinom Lagrange derajat ≤ n untuk (n + 1) titik berbeda adalah :
Ket :
Contoh :
Estimasi fungsi f(x) = cos x dengan polinom Interpolasi derajat tiga di dalam selang [0.0, 1.2]. Gunakan empat titik, . Perkirakan nilai dengan x = 0,5 . (Gunakan 5 angka bena)
Penyelesaian :
xi
0,0
0,4
0,8
1,2
yi
1,0000
0,9211
0,6967
0,3624

Polinom Lagrange derajat 3 yang menginterpolasi keempat titik di tabel adalah :

Sebagai perbandingan nilai sejatinya adalah
Note : Polinom Lagrange berlaku untuk semua titik baik yang berjarak sama ataupun tidak berjarak sama.
Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena alasan berikut :
-          Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumya yang dapat digunakan.
-          Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya hubungan antara  dan  pada polinom Lagrange.
c.       Polinomial Newton
Dengan polinom Newton, polinom yang dibentuk sebelumnya dapat dipakai  untuk membuat polinom derajat yanhg lebih tinggi.
Tinjau kembali polinom Lanjar pada persamaan (P.5.7):
Bentuk persamaan ini dapat ditulis sebagai:
                                                                                                (P.5.13)
Yang dalam hal ini:
                                                                                                          (P.5.14)
Dan :
                                                                                      (P.5.15)
Persamaan (P.5.15) ini merupakan bentuk selisih terbagi (divided-difference) dan dapat disingkat penulisannya menjadi:
                                                                                                              (P.5.16)
Setelah polinom Lanjar,polinom Kuadratik dapat dinyatakan dalam bentuk :
                                                                 (P.5.17)
Atau:
                                                                              (P.5.18)
Persamaan (P.5.18) memperlihatkan bahwa  dapat dibentuk dari polinom sebelumnya, . Ini mengarahkan kita pada pembentukan polinom Newton untuk derajat yang lebih tinggi. Nilai a2 dapat ditemukan dengan menyulihkan x = x2 untuk memperoleh :
                                                                                         (P.5.19)
Nilai a0 dan nilai a1 pada persamaan (P.5.14) dan (P.5.15) dimasukkan ke dalam persamaan (P.5.19) untuk memberikan :
Dengan melakukan utak-atik aljabar, persamaan terakhir ini lebih disukai ditulis menjadi:
                                        (P.5.20)
Demikianlah seterusnya, kita dapat membentuk polinom Newton secara bertahap:polinom derajat n dibentuk dari polinom derajat (n – 1). Polinom Newton dinyatakan dalam hubungan rekursif sebagai berikut:
            (i) rekurens:
                                  (P.5.21)
            (ii) basis:
                       
Jadi, tahapan pembentukan polinom Newton adalah sebagai berikut:
         (P.5.22)
Nilai konstanta a0, a1, a2,....an merupakan nilai selisih terbagi, dengan nilai masing-masing:
            a0 = f(x0)
            a1 = f(x1, x0)
            a2 = f(x2, x1, x0)
            .
            .
            an = f[xn,xn-I,...x1,x0]
yang dalam hal ini,
                                                                                (P.5.23)
                                                                 (P.5.24)
                             (P.5.25)
dengan demikian polinom Newton pada (P.5.21) dapat ditulis dalam hubungan rekursif sebagai berikut:
            (i) rekurens:
                                (P.5.26)
            (ii) basis:
Atau dalam bentuk polinom yang lengkap adalah sebagai berikut:
                            (P.5.27)

Interpolasi linier kuadratik

Secant dan posisi salah

Pencarian akar-akar dengan metode grafik

Metode pencarian akar

Fungsi vektor

Geometri transformasi

Psikologi perkembangan

PSIKOLOGI PERKEMBANGAN
Oleh: SRI SUKO PUJILESTARI(D74208071)
A.   Kelompok 1
a.       Hal-Hal yang Mempengaruhi Perkembangan Manusia:
a)      Keturunan, lingkungan, kematian.
b)      Pengaruh konstektual utama.
c)      Pengaruh normatifdan non normatif.
d)      Waktu periode kritis/ sensitif.
b.      Prinsip Rentang Kehidupan Terhadap Perkembangan Manusia:
a)      Perkembangan adalah proses seumur hidup.
b)      Perkembangan melibatkan situasi perolehan dan kehilangan( gain dan loss).
c)      Pengaruh biologi dan kultur yang bersifat terus berubah selama rentang kehidupan.
d)      Perkembangan melibatkan pertumbuhan alokasi sumber daya.
e)      Perkembangan sangat mungkin dimodifikasi.
f)       Perkembangan dipengaruhi oleh konteks histories dan cultural.
B.   Kelompok 2
a.       Membentuk Kehidupan Baru:
a)      Pembuahan (fertilization) yaitu proses bergabungnyasperma dan ovum untuk menciptakan sel tunggal yang disebut zigot melalui hubungan seksual.
b)      Mekanisme Hereditas yaitu terdapat DNA yang membawa instruksi biokimiawi. Didalam DNA terdapat kromosom. Pada saat kehamilan terdapat 22 pasang komosom autosom dan yang sepasang disebut kromosom seks. Jadi pada saat kehamilan terdapat 23 pasang kromosom. Kromosom seks pada wanita XX sedangkan pada laki-laki XY. Jadi jika ovum X dibuahi dibuahi oleh sperma Y maka akan menjadi anak laki-laki. Jika XX maka akan menjadi  anak wanita.
c)      Periode pralahir. Pada saat kehamilan bakat genetic berinteraksi dengan pengaruh lingkingan, kemampuan mengingat dan merespon terhadap stimuli sensoris  mulai berkembang,Janin merespon aura ibudan mengembangkan rasa suka kepada suara itu, pertumbuhan fisik yang terjadi pada masa ini paling cepat sepanjang rentang kehidupan.
b.      Isu Perkembangan pada Masa Bayi:
a)      Membangun Kepercayaan
Pada tahap ini bayi mulai mengembangkan perasaan percaya kepada orang atau subyek. Tahapanini dimulai ketika lahir dan terus berakhir hingga 12-18 bulan. Pada masa ini bayi mulai mengembangkan rasa ketergantungan kepada orang atau obyek di dunia bayi tersebut. Bayi harus mengembangkan keseimbangan antara rasa percaya dan ketidakpercayaan. Sehingga pada masa ini dibutuhkan pengasuh yang sensitive, respondif dan konsisten.

b)      Mengembangkan Keterikatan
Ikatan emosianal abadi dan resiprokal antara bati dan pengasuhnya memberikan kontribusi terhadap kualitas bayi.
c)      Kemunculan Pemahaman Diri. I-self yaitu entitas subyektif yang dengan mencoba mencari tahutentang diri yada masa bayi  yang dipercaya berkembang pada masa bayi dalam konteks pengalaman emosional yang terdapat yang terdapat dalam hubungan dengan pengasuh. Me-self yaitu  entitas obyektif yang muncul antara 15-30 bulan beriringan dengan perkembangan pemahaman diri.
d)      Perkembangan Otonomi
Anak-anak menerima keseimbangan antara menentukan sendiri dan kontrol oleh orang lain.
a.       Kontak dengan Anak Lain.
a)      Saudara  Kandung. Peran saudara kandung memainkan peran penting dalam keterampilan dan interaksi yang terjadi nantinya di luar rumah.
b)      Bukan saudara kandung.
c)      Anak dari Orang Tua yang Bekerja. Pengaruh orang tua tetap lebih besar walaupun kualitas, kuantitas, stabilitas, tipe penitipan anak memiliki pengaruh terhadap perkembangan kognitif dan psikososial.
C.   Kelompok 3
1.      Perkembangan Fisik meliputi:
a.       Perkembangan dan perubahan tubuh berlangsung dengan cepat. Selain itu system kekebalan berkembang dengan baik.
b.      Pola dan masalah tidur wajar terjadi pada masa kanak-kanak. Disebabkan aktivitas system control motor otak.
c.       Ketrampilan otak mulai berkembang.
d.      Nutrisi dan kesehatan oral harus selalu diperhatikan agar perkembangan anak tetap seimbang.
2.      Kesehatan dan Keselamatan meliputi:
a)      Penyakit minor seperti batuk, pilek, mimisan. Penyakit minor dapat membantu system imunitas mereka.
b)      Cidera akibat kecelakaan dan kematian.
c)      Kesehatan dalam konteks pengaruh lingkungan seperti: rokok, SES dan kemiskinan, rentan terhadap timbale(timah).
3.      Perkembangan Kognitif meliputi:
a)      Perkembangan bahasa pada masa kanak-kanak biasanya mulai menggunakan kata jamak, kata milik, kalimat lampau dan mengenal perbedaan antara I(saya), You(kamu) dan we(kita).
b)      Pendekatan pemrosesan informasi (perkembangan memorik) terdiri dari 3 yaitu:
v  Memori generic yang menghasilkan outline yang terjadi berulang kali tenpa detail tempat dan waktu tertentu.
v  Memori episodis yang merujuk pada pengalaman waktu dan tempat tertentu.
v  Memoro autobiografis yang membentuk sejarah kehidupan seseorang.
c)      Kecerdasan dilihat dari pendekatan psikometris yaitu penilaian harus dilakukan untuk memotret atau mamandu proses yang terus berlangsung.
4.      Perkemterbangan Psikososial meliputi:
1.      Konsep diri dan perkembangan kognitif. Ketidak matangan konsep diri dan perkembangan kognitif akan mengarah ide tidak logis sehingga diharuskan pada tahap terakhir anak-anak mampu mendeskripsikan karakteristik tertentu dari diri kedalam konsep umum.
2.      Memahami emosi  merupakan proses kognitif yang dapat mengarah kepada tindakan.
3.      Harga diri, ketika harga diri seseorang tinggi maka seorang anak akan termotivasiuntuk berprestasi.
D.   Kelompok 4
a)      Perkembangan Fisik meliputi:
Ø  Pertumbuhan berjalan melambat.
Ø  Kekuatan dan ketrampilan atletis meningkat.
Ø  Sakit saluran pernapasan adalah hal yang biasa terjadi akan tetapi secara umum tingkat kesehatannya terbaik apabila dibandingkan dengan periode umur lain.
b)      Perkembangan Kognitif meliputi:
§  Egodentrisme menghilang, anak mulai berpikir logis namun konkret.
§  Meningkatnya kemampuan daya ingat dan keterampilan berbahasa.
§  Keunggulan kognitif memungkinkan anak mendapatkan keuntungan dari sekolah formal.
c)      Perkembangan Psikososial meliputi:
v  Konsep diri menjadi ebih kompleks, dan mempengaruhi kepercayaan diri.
v  Pengaturan bersama/koregulasi merefleksikan perubahan gradual dalam control dari orang tua kepada anak.
v  Teman sebaya menjadi sesuatu yang penting.
E.   Kelompok 5
1)      Perkembangan Fisik meliputi:
v  Pertumbuhan fisik dan perubahan lainnya berlangsung cepat dan sangat intens.
v  Terjadinya kematangan organ reproduksi.
v  Resiko kesehatan utama bersumber dari isu perilaku seperti penyimpangan pola makan dan penyalahgunaan obat.
2)      Perkembangan Kognitif meliputi:
Ø  Berkembangnya kemampuan untuk berpikir secara abstrak dan menggunakan alas an ilmiah.
Ø  Pemikiran yang kurang dewasa terus berlangsung dalam sikap danperilaku tertentu.
Ø  Pendidikan difokuskan kepada persiapan memasuki universitas atau bekerja.
3)      Perkembangan Psikososial meliputi:
§  Pencarian terhadap identitas termasuk identitas seksual menjadi isu sentral.
§  Secara umum hubungan dengan orang tua berlangsung baik.
§  Kelompok sebaya membantu mengembangkan dan menguji konsep diri tetapi juga dapat menimbulkan pengaruh antisocial.
F.    Kelompok 6
1)      Perkembangan Fisik meliputi:
a.       Kondisi  fisik mencapai puncak untuk kemudian secaraperlahan menurun.
b.      Pilihan gaya hidup mempengaruhi kesehatan.
2)      Kemampuan Kognitif meliputi:
a)      Kemampuan kognitif dan penilaian moral diasumsikan lebih kompleks.
b)      Pilihan pendidikan dan karier dibuat.
3)      Perkembangan Psikososial meliputi:
a.       Sifat dan gaya kepribadian relative stabil, akan tetapi perubahan dalam kepribadian mungkin terjadi akibat umur dan pengalaman hidup.
b.      Keputusan tentang hubungan yang lebih intim dan gaya personal dibuat.
c.       Sebagian besar orang menikah dan sebagian besar menjadi orang tua.
G.  Kelompok 7
1.      Perkembangan Fisik meliputi:
a.       Beberapa penurunan sensoris kesehatan stamina dan keterampilan mulai terjadi. Perkembangan paruh baya yang sehat menuntut individualisasi, kemunculan diri sejati  melalui penyeimbangan/pengintegrasian bagian kepribadian yang saling berlawanan termasuk bagian-bagian yang sebelumnya diabaikan dan mulai berkonsentrasi pada kewajiban  terhadap keluarga dan masyarakat serta mengembangkan aspek-aspek kepribadian yang akan membantu mereka mencapai tujuan eksternal.
b.      Wanita mulai mengalami menopause.
2.      Perkembangan Kognitif meliputi:
a)      Orang dengan ego-resiliency(kelenturan ego) maka kemampuan beradaptasi lebih fleksibel terhadap sumber potensi stress  berkecenderungan lebih besar melewati paruh baya dengan sukses.
b)      Sebagian besar kemampuan mental dasar melemah, kepakaran dan kepraktisan pemecah masalah meningkat.
c)      Keluaran kreatif mungkin menurun akan tetapi terjadi peningkatan dalam kualitasnya.
d)      Bagi sebagian orang kesuksesan karier dan pemasukan mencapai puncaknya. Namun bagi yang lain penderitaan memuncak dan perubahan karier mungkin saja terjadi.
3.      Perkembangan Psikososial meliputi:
a.       Rasa identitas terus berkembang , stress transisi paruh baya dapat terjadi pada saat ini.
b.      Tanggung jawab ganda mengasuh anak dan orang tua dapmeniat menimbulkan stress.
c.       Mental yang positif mengandung perasaan akan kenyamanan psikologis yang amat berkaitan dengan perasaan akan keberadaan diri yang sehat.
d.      Perginya anak telah meninggalkan sarang yang kosong bagi  orang pada masa dewasa tengah.
4.      Relasi Konsensualmeliputi:
a.       Perkawinan. Pada masa dewasa tengah jarang terjadi perceraian.
b.      Gay dan Lesbian melewati pencarian awal terhadap identitas, di cap bersalah, sikap tertutup, perkawinan heteroseksual dan konflik  dengan kedua jenis kelamin.
c.       Pertemanan. Pada masa dewasa tengah  kualitas pertemanan lebih diperhatikan daripada kuantitas. Konflik berpusat pada nilai,keyakinaan, dan gaya hidup.
d.      Relasi dengan anak yang sedang dewasa sebagaimana adanya bukan sebagaimana yang diinginkan/ diharapkan oleh orang tua.
5.      Ikatan kekeluargaan lain meliputi:
a)      Hubungan dengan orang tua yang sudah uzur.
b)      Relasi dengan saudara kandung.
c)      Granparenthood.
H.  Kelompok 8
1.      Perkembangan Fisik meliputi:
a.       Usia dan Penuaan meliputi trend dan faktor dalam harapan hidup yang dipengaruhi oleh perbedaan regional, etnis, dan gender.
b)      Perubahan Fisik meliputi: Perubahan Organis dan Sistemis  mengalami penurunan kemampuan pencadangan( kemampuan cadangan organ), kemampuan cadangan yang membantu system tubuhberfungsi sepenuhnya pada waktu stress.
c)      Keterlambatan dalam waktu bereaksi akan mempengaruhi beberapa aspek fungsi organis dan sistemis.
d)      Sebagian besar orang  berada dalam kondisi sehat dan aktif walaupun kesehatan dan kematangan fisik menurun hingga tingkat tertentu.
e)      Fungsi sensorik seperti penglihatan, pendengaran, penciuman, peraba, perasa mengalami gangguan.
f)       Fungsi seksual meliputi frekuensi dan intensitas pengalaman seksual mengalami penurunan.
g)      Aktivitasfisik, nutrisi, dan faktor gaya hidup mempengaruhi kesehatan.
h)      Masalah mental dan perilaku terjadi akibat demensial ( penurunan pada fungsi kognitif dan perilakuakibat penyebab fisiologis.
2.      Perkembangan Kognitif  meliputi:
a.       Kecerdasan  yang mengkristal terus meningkat walaupun kecerdasan yang mengalirsudah menurun lebih awal .
b.      Kemampuan mengingat  informasi yang baru kurang efisien karena mengalami penurunan memoro sensoris, semantic, procedural.
c.       Kualitas , kreativitas,pemikiran refleksif dan penalaran moral tampaknya amat mempengaruhi perkembangan kebijaksanaan.
d.      Selalu belajar dapat membuat lansia tetap awet secara mental.
3.      Perkembangan Psikososial meliputi:
                                                        i.            Gaya hidup dan isu social meliputi:
a)      Kerja, pensiun dan bersantai.
b)      Lving arrangements.Hidup aging in place, hidup sendiri, tinggal bersama anak yang sudah dewasa dan hidup dalam intuisi.
c)      Pelecehan terhadap lensia yang hidup bersama pasangan atau anak.
                                                      ii.            Relasi Konsensual meliputi:
§      Pernikahan yang kekal.
§      Perceraian dan pernikahan kembali.
§      Menjanda atau menduda.
§      Hidup sebatang kara.
§      Relasi gay dan lesbian.
§      Pertemanan.
                                                    iii.            Ikatan kekeluargaan di luar pernikahan meliputi:
Ø  Hubungan dengan anak yang telah dewasa atau ketiadaan hubungan tersebut.
Ø  Relasi dengan saudara kandung.
Ø  Menjadi buyut.
I.      Kelompok 9
1)      Menghadapi Kematian dan Kehilangan meliputi:
1.      Menghadapi kematian diri sendiri. Menurut kubbler ross terdapat lima tahap dalam kondisi dekat dengan kematian yaitu:
*      Penolakan(penolakan untuk menerima apa yang akan terjadi.
*      Marah.
*      Menawar untuk mendapat tambahan waktu.
*      Depresi.
*      Penerimaan.
2.      Pola kehilangan meliputi:
Ø  Shock dan tidak percaya.
Ø  Asyik dengan kenangan mereka yang telah meninggal.
Ø  Resolusi.
2)      Kematian dan kehilangan sepanjang rentang usia meliputi:
1.      Masa Kanak-kanak atau Remaja. Peran orang dewasa dapat membantu memahamkan kepada anak bahwa kematian bersifat final.
2.      Masa Dewasa. Peran orang dewasa harus mampu merasakan bahwa kehidupan mereka bermakna dan mampu menghadapi kematian dengan baik.
3)      Kehilangan Khusus meliputi:
1.      Pasangan yang masih bertahan hidup harus mampu menjadi katalisator bagi introspeksi dan belajar hidup mandiri.
2.      Kehilangan Orang tua pada masa dewasa dapat menjadi peluang untuk hidup lebih dewasa dan apresiasi terhadap nilai hubungan personal yang lebih baik.
3.      Kehilangan Anak. Sebagai pasangan suami istri harus saling mendekatkan diri apabila tidak ingin rumah tangganya hancur.
4)      Isu-isu Medis, Legaldan etis hak untuk mati.
1.      Euthansia Aktif
2.      Euthansia Pasif
3.      Bunuh Diri Berbantuan
4.      Advance Directive
5.      Power of Attorney.
5)      Pilihan Mengakhiri Hidup.
Salah satu hasil kontroversi dari bunuh diri berbantuan yaitu perhatian terhadap si sakit( Palliative Care) yang lebih baik dan perhatian yang lebih dekat dengan motivasi serta kondisi pasien.Dukungan keluarga juga juga berperan penting. Selain itu memberikan pengertian kepada si sakit  banyak cara yang dapat ditemukan untuk menghilang atau menyelesaikan masalah tanpa bunuh diri.