Polinomial lagrange dan polinomial newton

Oleh:

Siti Aisyah                               D04208046

Ulul Azmi                                D04208077

Yusuf Setiawan                                   D34208018

Feni Rohmatus Saidah             D34208027

Sri Suko Puji Lestari                D74208071

Dosen Pembimbing:

Sutini, M.Si

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS TARBIYAH

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SUNAN AMPEL  SURABAYA

2011

Oleh:

Siti Aisyah                               D04208046

Ulul Azmi                                D04208077

Yusuf Setiawan                                   D34208018

Feni Rohmatus Saidah             D34208027

Sri Suko Puji Lestari                D74208071

Dosen Pembimbing:

Sutini, M.Si

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS TARBIYAH

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SUNAN AMPEL  SURABAYA

2011

INTERPOLASI

Pengertian Interpolasi

Bila data diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva kecocokannya dibuat melalui setiap titik, persis sama kalau kurva fungsi yang sebenarnya dirajah (ditelusuri) melalui setiap titik itu. Disebutkan bahwa kita menginterpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi. Bila fungsi kecocokan yang digunakan berbentuk polinom, polinom tersebut dinamakan polinom interpolasi. Pekerjaan menginterpolasi titik data dengan sebuah polinom disebut interpolasi (dengan ) polinom. Contoh data yang mempunyai ketelitian tinggi adalah titik-titik yang dihitung dari fungsi yang telah diketahui atau data tabel yang terdapat pada acuan ilmiah (data percepatan gravitasi bumi). Selain dengan polinom, interpolasi titik-titik data dapat dilakukan dengan fungsi spline, fungsi rasional (pecahan) atau deret Fourier.

Jenis Interpolasi :

a.        Linier

b.      Lagrange dan Polinom Newton

a.      Interpolasi Linier

Interpolasi linier adalah interpolasi dua buah titik dengan  sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik (x₀,y₀) dan (x₁,y₁).Polinom yang menginterpolasi kedua titik tersebut adalah persamaan garis lurus yang berbentuk :

Dengan sedikit manipulasi aljabar (lih. Rinaldi Munir hal.194) diperoleh :

Dengan kurva polinom ini adalah berupa garis lurus.

Contoh :

Perkirakan jumlah telur yang dihasilkan seorang peternak ayam pada bulan ke-5 berdasarkan data tabulasi berikut :

Bulan	1	11
Jumlah Telur (Butir)	1525	1785

Penyelesaian :

Dengan menggunakan persamaan diatas, diperoleh :

Jadi, diperoleh jumlah telur yang dihasilkan oleh ternak-ternak tersebut pada bulan ke-5 adalah 1629 butir.

b.      Polinomial Lagrange

Tinjau kembali persamaan polinom linier pada a. :

Persamaan ini dapat diatur kembali sedemikian rupa sehingga menjadi

Atau dapat dinyatakan dalam bentuk :

Ket :

Persamaan diatas dinamakan polinom Lagrange berderajat 1.

Bentuk umum polinom Lagrange derajat ≤ n untuk (n + 1) titik berbeda adalah :

Ket :

Contoh :

Estimasi fungsi f(x) = cos x dengan polinom Interpolasi derajat tiga di dalam selang [0.0, 1.2]. Gunakan empat titik, . Perkirakan nilai dengan x = 0,5 . (Gunakan 5 angka bena)

Penyelesaian :

xi	0,0	0,4	0,8	1,2
yi	1,0000	0,9211	0,6967	0,3624

Polinom Lagrange derajat 3 yang menginterpolasi keempat titik di tabel adalah :

Sebagai perbandingan nilai sejatinya adalah

Note : Polinom Lagrange berlaku untuk semua titik baik yang berjarak sama ataupun tidak berjarak sama.

Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena alasan berikut :

-          Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumya yang dapat digunakan.

-          Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya hubungan antara  dan  pada polinom Lagrange.

c.       Polinomial Newton

Dengan polinom Newton, polinom yang dibentuk sebelumnya dapat dipakai  untuk membuat polinom derajat yanhg lebih tinggi.

Tinjau kembali polinom Lanjar pada persamaan (P.5.7):

Bentuk persamaan ini dapat ditulis sebagai:

                                                                                                (P.5.13)

Yang dalam hal ini:

                                                                                                          (P.5.14)

Dan :

                                                                                      (P.5.15)

Persamaan (P.5.15) ini merupakan bentuk selisih terbagi (divided-difference) dan dapat disingkat penulisannya menjadi:

                                                                                                              (P.5.16)

Setelah polinom Lanjar,polinom Kuadratik dapat dinyatakan dalam bentuk :

                                                                 (P.5.17)

Atau:

                                                                              (P.5.18)

Persamaan (P.5.18) memperlihatkan bahwa  dapat dibentuk dari polinom sebelumnya, . Ini mengarahkan kita pada pembentukan polinom Newton untuk derajat yang lebih tinggi. Nilai a₂ dapat ditemukan dengan menyulihkan x = x₂ untuk memperoleh :

                                                                                         (P.5.19)

Nilai a₀ dan nilai a₁ pada persamaan (P.5.14) dan (P.5.15) dimasukkan ke dalam persamaan (P.5.19) untuk memberikan :

Dengan melakukan utak-atik aljabar, persamaan terakhir ini lebih disukai ditulis menjadi:

                                        (P.5.20)

Demikianlah seterusnya, kita dapat membentuk polinom Newton secara bertahap:polinom derajat n dibentuk dari polinom derajat (n – 1). Polinom Newton dinyatakan dalam hubungan rekursif sebagai berikut:

            (i) rekurens:

                                  (P.5.21)

            (ii) basis:

                       

Jadi, tahapan pembentukan polinom Newton adalah sebagai berikut:

         (P.5.22)

Nilai konstanta a₀, a₁, a₂,....a_n merupakan nilai selisih terbagi, dengan nilai masing-masing:

            a₀ = f(x₀)

            a₁ = f(x₁, x₀)

            a₂ = f(x₂, x₁, x₀)

            .

            .

            a_n = f[x_n,x_n-I,...x₁,x₀]

yang dalam hal ini,

                                                                                (P.5.23)

                                                                 (P.5.24)

                             (P.5.25)

dengan demikian polinom Newton pada (P.5.21) dapat ditulis dalam hubungan rekursif sebagai berikut:

            (i) rekurens:

                                (P.5.26)

            (ii) basis:

Atau dalam bentuk polinom yang lengkap adalah sebagai berikut:

                            (P.5.27)