Tugas mencari nilai ideal pada struktur aljabar

1. Mencari ideal-ideal N dari Z_12. Menyebutkan mana diantara ideal-ideal tersebut yang merupakan ideal maksimal dan mana yang merupakan ideal prima.

Z₁₂=Z₁, Z_2,, Z₃,Z₄, Z₅,Z₆,Z₇,Z₈,Z₉,Z₁₀,Z₁₁

a)      Z₁ ideal dari Z₁₂

a.       Mengambil 0€Z₁₂,  t€Z₁ maka  terlihat 0.T= 0€Z₁ jadi Z₁≠φ

b.      Dari definisi jelas terlihat Z₁С Z₁₂

c.       Ambil sebarang x,y€Z₁ , maka x-y€Z₁

Untuk x=0, y=0 maka 0-0=0

Karena 0€Z₁, maka 0-0=0€Z₁ jadi x-y€Z₁

d.       Ambil sebarang r €Z₁₂, x€Z₁ maka rx€Z₁ dan r€Z₁

Untuk x=0 maka rx=r.0=0€Z₁

                          Xr=0.r=0€Z₁

karena r€Z₁₂ dan 0€Z₁ ­maka terbukti rx€Z₁= xr€Z₁

Dari a-d terbukti bahwa Z₁ ideal dari Z₁₂  

b)      Z₂ ideal dari Z₁₂

a.       Mengambil 0€Z₁₂, t€Z₂,  maka terlihat 0.T= 0€Z₁ jadi Z₁≠φ

b.      Dari definisi jelas terlihat Z₂С Z₁₂

c.       Ambil sebarang x,y€Z₂ , maka x-y€Z₂

Untuk x=0, y=1  maka 0-1=1

Karena  0,1€Z₂, maka 0-1=1€Z₂ jadi x-y€Z₂

d.       Ambil sebarang r €Z₁₂, x€Z₂ maka rx€Z₂ dan r€Z₂

Untuk x=0 maka rx=r.0=0€Z₂

                          Xr=0.r=0€Z₂

karena r€Z₁₂ dan 0€Z₂ ­maka terbukti rx€Z₂= xr€Z₂

Dari a-d terbukti bahwa Z₂ ideal dari Z₁₂

c)       Z₃ ideal dari Z₁₂

a.       Mengambil 0€Z₁₂, t€Z₃,  maka terlihat 0.T= 0€Z₃ jadi Z₃≠φ

b.      Dari definisi jelas terlihat Z₃С Z₁₂

c.       Ambil sebarang x,y€Z₃ , maka x-y€Z₃

Untuk x=0, y=2  maka 0-2=2

Karena 0,1,2€Z₃, maka 0-2=2€Z₃ jadi x-y€Z₃

d.       Ambil sebarang r €Z₁₂, x€Z₃ maka rx€Z₃dan r€Z₃

Untuk x=0 maka rx=r.0=0€Z₃

                          Xr=0.r=0€Z₃

karena r€Z₁₂ dan 0€Z₃ ­maka terbukti rx€Z₃= xr€Z₃

Dari a-d terbukti bahwa Z₃ ideal dari Z₁₂

d)      Z₄ ideal dari Z₁₂

a.       Mengambil 0€Z₁₂, t€Z₄,  maka terlihat 0.T= 0€Z₄ jadi Z₄≠φ

b.      Dari definisi jelas terlihat Z₄С Z₁₂

c.       Ambil sebarang x,y€Z₄ , maka x-y€Z₄

Untuk x=0, y=3  maka 0-3=3

Karena 0,1,2,3€Z₄, maka 0-3=3€Z₄ jadi x-y€Z₄

d.       Ambil sebarang r €Z₁₂, x€Z₄ maka rx€Z₄dan r€Z₄

Untuk x=0 maka rx=r.0=0€Z₄

                          Xr=0.r=0€Z₄

karena r€Z₁₂ dan 0€Z₄ ­maka terbukti rx€Z₄= xr€Z₄

Dari a-d terbukti bahwa Z₄ ideal dari Z₁₂

e)      Z₅ ideal dari Z₁₂

a.       Mengambil 0€Z₁₂, t€Z₅,  maka terlihat 0.T= 0€Z₅ jadi Z₅≠φ

b.      Dari definisi jelas terlihat Z₅С Z₁₂

c.       Ambil sebarang x,y€Z₅ , maka x-y€Z₅

Untuk x=0, y=4 maka 0-4=4

Karena 0,1,2,3,4€Z₅, maka 0-4=4€Z₅ jadi x-y€Z₅

d.       Ambil sebarang r €Z₁₂, x€Z₅ maka rx€Z₅ dan r€Z₅

Untuk x=0 maka rx=r.0=0€Z₅

                          Xr=0.r=0€Z₅

karena r€Z₁₂ dan 0€Z₅ ­maka terbukti rx€Z₅= xr€Z₅

Dari a-d terbukti bahwa Z₅ ideal dari Z₁₂

f)       Z₆ ideal dari Z₁₂

a.       Mengambil 0€Z₁₂, t€Z₆,  maka terlihat 0.T= 0€Z₆ jadi Z₆≠φ

b.      Dari definisi jelas terlihat 6₅С Z₁₂

c.       Ambil sebarang x,y€Z₆ , maka x-y€Z₆

Untuk x=0, y=5 maka 0-5=5

Karena 0,1,2,3,4,5€Z₆, maka 0-5=5€Z₆ jadi x-y€Z₆

d.       Ambil sebarang r €Z₁₂, x€Z₆ maka rx€Z₆ dan r€Z₆

Untuk x=0 maka rx=r.0=0€Z₆

                          Xr=0.r=0€Z₆

karena r€Z₁₂ dan 0€Z₆ ­maka terbukti rx€Z₆= xr€Z₆

Dari a-d terbukti bahwa Z₆ ideal dari Z₁₂

g)      Z₇ ideal dari Z₁₂

a.       Mengambil 0€Z₁₂, t€Z₇,  maka terlihat 0.T= 0€Z₇ jadi Z₇≠φ

b.      Dari definisi jelas terlihat Z₇С Z₁₂

c.       Ambil sebarang x,y€Z₇, maka x-y€Z₇

Untuk x=0, y=6 maka 0-6=6

Karena 0,1,2,3,4,5,6€Z₇, maka 0-6=6€Z₇ jadi x-y€Z₇

d.       Ambil sebarang r €Z₁₂, x€Z₇ maka rx€Z₇ dan r€Z₇

Untuk x=0 maka rx=r.0=0€Z₇

                          Xr=0.r=0€Z₇

karena r€Z₁₂ dan 0€Z₇ ­maka terbukti rx€Z₇= xr€Z₇

Dari a-d terbukti bahwa Z₇ ideal dari Z₁₂

h)      Z₈ ideal dari Z₁₂

a.       Mengambil 0€Z₁₂, t€Z₈,  maka terlihat 0.T= 0€Z₈ jadi Z₈≠φ

b.      Dari definisi jelas terlihat Z₈С Z₁₂

c.       Ambil sebarang x,y€Z₈, maka x-y€Z₈

Untuk x=0, y=7maka 0-7=7

Karena 0,1,2,3,4,5,6,7€Z₇, maka 0-7=7€Z₈ jadi x-y€Z₈

d.       Ambil sebarang r €Z₁₂, x€Z₈maka rx€Z₈ dan r€Z₈

Untuk x=0 maka rx=r.0=0€Z₈

                          Xr=0.r=0€Z₈

karena r€Z₁₂ dan 0€Z₈ ­maka terbukti rx€Z₈= xr€Z₈

Dari a-d terbukti bahwa Z₈ ideal dari Z₁₂

i)        Z₉ ideal dari Z₁₂

a.       Mengambil 0€Z₁₂, t€Z₉,  maka terlihat 0.T= 0€Z₉ jadi Z₉≠φ

b.      Dari definisi jelas terlihat Z₉С Z₁₂

c.       Ambil sebarang x,y€Z₉, maka x-y€Z₉

Untuk x=0, y=8maka 0-8=8

Karena 0,1,2,3,4,5,6,7,8€Z₈, maka 0-8=8€Z₉ jadi x-y€Z₉

d.       Ambil sebarang r €Z₁₂, x€Z₉maka rx€Z₉ dan r€Z₉

Untuk x=0 maka rx=r.0=0€Z₉

                          Xr=0.r=0€Z₉

karena r€Z₁₂ dan 0€Z₉ ­maka terbukti rx€Z₉= xr€Z₉

Dari a-d terbukti bahwa Z₉ ideal dari Z₁₂

j)        Z₁₀  ideal dari Z₁₂

a.       Mengambil 0€Z₁₂, t€Z₁₀,  maka terlihat 0.T= 0€Z₁₀ jadi Z₁₀≠φ

b.      Dari definisi jelas terlihat Z₁₀С Z₁₂

c.       Ambil sebarang x,y€Z₁₀, maka x-y€Z₁₀

Untuk x=0, y=9maka 0-9=9

Karena 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9€Z₁₀, maka 0-9=9€Z₁₀ jadi x-y€Z₁₀

d.       Ambil sebarang r €Z₁₂, x€Z₁₀maka rx€Z₁₀ dan r€Z₁₀

Untuk x=0 maka rx=r.0=0€Z₁₀

                          Xr=0.r=0€Z₁₀

karena r€Z₁₂ dan 0€Z₁₀ ­maka terbukti rx€Z₁₀= xr€Z₁₀

Dari a-d terbukti bahwa Z₁₀ ideal dari Z₁₂

k)      Z₁₁ ideal dari Z₁₂

a.       Mengambil 0€Z₁₂, t€Z₁₁,  maka terlihat 0.T= 0€Z₁₁ jadi Z₁₁≠φ

b.      Dari definisi jelas terlihat Z₁₁С Z₁₂

c.       Ambil sebarang x,y€Z₁₁, maka x-y€Z₁₁

Untuk x=0, y=10maka 0-10=10

Karena 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10€Z₁₁, maka 0-10=9€Z₁₁ jadi x-y€Z₁₁

d.       Ambil sebarang r €Z₁₂, x€Z₁₁maka rx€Z₁₁ dan r€Z₁₁

Untuk x=0 maka rx=r.0=0€Z₁₁

                          Xr=0.r=0€Z₁₁

karena r€Z₁₂ dan 0€Z₁₁ ­maka terbukti rx€Z₁₁= xr€Z₁₁

Dari a-d terbukti bahwa Z₁₁ ideal dari Z₁₂